тео
Well-Known Member
Звучи невероятно, но ето доказателство, че всички правоъгълни триъгълници са равностранни. Необходими са познания само за еднаквост на триъгълниците.
Имаме правоъгълен триъгълник ABC. Построяваме ъглополовяща на ъгъл CAB и симетрала на страната BC. От пресечната точка на ъглополовящата и симетралата – O, спускаме перпендикулярни отсечки OM и ON към страните AB и AC.
Да разгледаме триъгълниците AOM и AON. Те са еднакви защото имат обща страна, с
два еднакви прилежащи ъгъла. Следователно AM=AN.
Да разгледаме триъгълниците BOP и COP. Те са еднакви защото имат по две еднакви страни и ъгъл между тях (OP е обща страна, също така е симетрала, тоест BP=CP). Следователно BO=CO.
Сега идва интересната част – триъгълниците MOB и NOC също са еднакви – според четвъртия признак за еднаквост на триъгълниците, те имат по две равни страни и еднакви ъгли срещу по-голямата от тях – NO=MO, BO=CO, ъгъл ONC = ъгъл OMB. Следователно NC=MB.
Вече доказахме, че AN=AM, а от това следва, че AC=AB или с други думи, катетът е равен на хипотенузата или по-друг начин казано, правоъгълния триъгълник е равнобедрен.
Тъй като построението и доказателството може да се повтори, започвайки с ъглополовяща на ъгъл ACB, то следва, че триъгълникът е РАВНОСТРАНЕН.
Построението е произволно, следователно, всеки правоъгълен триъгълник е равностранен!
(AB=BC=CA)
източник
Имаме правоъгълен триъгълник ABC. Построяваме ъглополовяща на ъгъл CAB и симетрала на страната BC. От пресечната точка на ъглополовящата и симетралата – O, спускаме перпендикулярни отсечки OM и ON към страните AB и AC.
Да разгледаме триъгълниците AOM и AON. Те са еднакви защото имат обща страна, с
два еднакви прилежащи ъгъла. Следователно AM=AN.
Да разгледаме триъгълниците BOP и COP. Те са еднакви защото имат по две еднакви страни и ъгъл между тях (OP е обща страна, също така е симетрала, тоест BP=CP). Следователно BO=CO.
Сега идва интересната част – триъгълниците MOB и NOC също са еднакви – според четвъртия признак за еднаквост на триъгълниците, те имат по две равни страни и еднакви ъгли срещу по-голямата от тях – NO=MO, BO=CO, ъгъл ONC = ъгъл OMB. Следователно NC=MB.
Вече доказахме, че AN=AM, а от това следва, че AC=AB или с други думи, катетът е равен на хипотенузата или по-друг начин казано, правоъгълния триъгълник е равнобедрен.
Тъй като построението и доказателството може да се повтори, започвайки с ъглополовяща на ъгъл ACB, то следва, че триъгълникът е РАВНОСТРАНЕН.
Построението е произволно, следователно, всеки правоъгълен триъгълник е равностранен!
(AB=BC=CA)
източник
