Тук са описани подробности за името на регистранта:
https://www.register.bg/user/static/rules/bg/index.html#5.5.2
5.5.2. При регистриране на ЗАЩИТЕН ДОМЕЙН в областта от първо ниво .bg формирането на ИНТЕРНЕТ ИМЕТО се осъществява чрез:
5.5.2.1. Пълното име.
5.5.2.2. Съкращение, образувано от една или няколко от думите, образуващи пълното име, и първите символи от останалите думи (като се спазва последователността им).
5.5.2.3. Съкращение, образувано от първите символи на думите, образуващи пълното име, като се спазва последователността им (абревиатура).
5.5.2.4. Когато в името на заявителя има число, изписано с цифри, се допуска в името на областта то да бъде изписано с думи и обратно.
5.5.2.5. Когато името е съставно, между отделните думи или начални символи на думите, които се използват за формиране на името, може да бъде поставен знак минус (-).
5.5.2.6. Когато името не може да се формира по някой от изброените начини поради заетост, след желаната комбинация от символи (по т.5.5.2.1., т.5.5.2.2., т.5.5.2.3., т.5.5.2.4. или 5.5.2.5.) може да бъде поставено число или символите bg или бг, отделени или не със знак минус (-).
5.5.2.7. Когато в името фигурира думата България, тя може да бъде изпусната или заменена със символите bg или бг. Когато името завършва с думата "бг", "bg", ".бг" или ".bg", последната може да бъде изпусната.
5.5.2.8. От пълното име могат да бъдат изпуснати някои общи думи от вида на: "ltd", "plc", "inc", "co","company", "corporation", "international" (или техните еквиваленти).
5.5.2.9. Когато в името фигурира име на селище, държава или континент, то може да бъде изпуснато или да бъде използвано общоприето негово съкращение.
5.5.2.10. Към името на субекта може да бъде добавено името или общоприетото съкращение на селището на неговото седалище.
5.5.2.11. Когато в името на РЕГИСТРАНТА фигурира името на патрон, то може да бъде изпуснато или да бъде използвано само то.
5.5.2.12. Ако в името се съдържа дублираща го абревиатура, тя може да бъде изпусната.
5.5.2.13. Когато в името се съдържа символа &, той трябва да бъде изпуснат или заменен със съюза "и"("and"), знака минус "-" или буквата "n".
5.5.2.14. Името може да бъде преведено на друг език или транслитерирано на латиница.
Относно другият ти въпрос - ако имаш фирма. Ако фирмата ти е регистрирана преди датата на регистрация на домейна - да можеш да заведеш арбитраж. Ако фирмата ти е регистрирана след това няма да имаш приоритет при арбитраж.
Повече за арбитражите можеш да видиш тук:
http://www.martin.bg/aрбитраж-на-домейн/